Nicht öffentlich sind nicht gelistete und private Videos und hier gibt es durchaus Seiten die sowas sammeln. Meist aus Leaks. Wer dann sowas nutzt, kann durchaus mit Problemen rechnen.
Das sind dann aber vor allem Probleme, die auf den Channel zukommen, der geleakte Inhalte auf eine öffentliche Plattform wie YT hochlädt, egal ob ungelisted oder privat. Ein Leak bezeichnet ja fast immer einen Verstoß gegen ein NDA. Auch Copyright-Strikes oder DMCA Takedowns oder Schadenersatzklagen wegen NDA-Verstoß gelten unabhängig davon, ob etwas öffentlich, ungelistet oder privat ist. Wenn es sich um NDA Content handelt, gehört das nicht ins Internet und stellt in den meisten Fällen einen Verstoß gegen die NDA dar. Da ist dann die Person oder Firma betroffen, die die NDA unterzeichnet oder akzeptiert und dann gegen sie verstoßen hat.
Daher ist es für jemanden, der Einbettungen vornimmt, ziemlich unerheblich, ob etwas "öffentlich" ist, wie oben gesagt, eigentlich ist alles, was sich einbetten lässt, auch öffentlich. Wenn es nicht öffentlich sein sollte, dann ist das vor allem erstmal das Problem des Channels, auf dem der Inhalt existiert, wenn man etwas nicht veröffentlichen will oder darf, es aber ins Internet hochlädt und dann nicht korrekt absichert. Und auch ungelistete Videos sind öffentlich, sie werden halt nur nicht in Search&Discover verbreitet. Aber spätestens, wenn man den Link einer anderen Person gibt, kann dieser völlig wild und frei im Internet verteilt werden und das Video ist völlig öffentlich damit. Und wenn ein Video dann dadurch vom eigentlichen Urheber/Inhaber entfernt wird, ist auch das Embedding sofort entwertet. Daher braucht niemand gegen eine Website vorgehen, die etwas embedded, man muss nur das Video bei YT entfernen lassen, dann sind automatisch auch alle Embeds weg.
Als Channel-Inhaber hat man die Option einfach seine Videos so einzustellen, dass sie nicht eingebettet werden können, einfach den folgenden Haken in den Eigenschaften des Videos entfernen:

Und private Videos können auch von externen Seiten nicht embedded werden, selbst wenn der Link bekannt sein sollte. Das ist technisch unmöglich, da kommt nur der YT Screen "Dieses Video ist privat", kein Video. Copyright-Strikes kann man aber auf private Videos genauso bekommen, die Content-ID Tests laufen über alle Uploads, egal ob öffentlich, ungelistet oder privat.